高频版图布线理论基础 (二)

上篇我们介绍了高频与低频之间的界限，并介绍了最常见的传输线理论。

由此引入了阻抗匹配，影响电阻的趋肤效应等概念。

接下来，我们还需要寻找构成均匀传输线模型的其他方面的材料，比如有关储能元件电感、电容的计算，电导漏电的相关材料。

当然，我们暂时还不会涉及到非均匀传输线概念的整理。

本篇重点介绍阻抗匹配中最基础也是最实用的串、并联阻抗变换的概念，并以简单的集成螺旋电感模型的变换作为示范。

 本篇中可以找到的概念包括：带宽，-3dB带宽，品质因子Q　，谐振，广义谐振等。

目前主要的匹配方式有三种：串并联互换、传输线匹配和变压器变换。

一、串并联互换

 

 

图（1）

 串并联互换的基本思路就是变换后阻抗相等，这也是我们想要的结果。

因为变换首先考虑不能有能量的损耗，所以采用电抗元件，所以也称为LC阻抗变换。

其他两种方式,如变压器：输入出阻抗比为初次级电感匝数比的平方。

有一种形式的传输线匹配也是类似变压器的方式，即感应相同或相反的电流，从而达到阻抗变换的目的。

1/4 波长传输线插入也常被使用。

根据图（1）写出等式:

 Zs=Zp ==> Rs+jXs=Rp//jXp ==> 1/(Rs + jXs) = 1/Rp + 1/jXp              (1)

 (Rs – jXs)/[(Rs+jXs)(Rs-jXs)] = (Rs-jXs)/(Rs^2+Xs^2) = 1/Rp + 1/jXp       (2)

实部与虚部分别相等，得到：

 1/Rp = Rs/(Rs^2 + Xs^2)                (3)

 1/jXp = -jXs/(Rs^2 + Xs^2)              (4)

整理后得到：

 Rp = Rs(1+ Q^2)                       (5)

 Xp = Xs(1+ 1/Q^2)                     (6)

其中：

 Q = Rp/Xp = Xs/Rs                    (7)

如果Q>>1 , 由式5，6可得

Rp ≈ Rs * Q^2, Xp ≈ Xs    (8)

公式5，6，7是后面演算的基础，也是最实用的等式。

而式8　只是说明了，变换后电抗几乎不变，而电阻相差Q平方倍。

这里要解释一下Q值（Qulity factor）的定义：

 Q LC = 2π* Emax_store / Eper_loss           (9)

 Q ind = 2π* (Emax_L – Emax_C) / Eper_loss   (10)

以RLC并联电路和类似模型的电感为例：Emax_store最大储能, Eper_loss为一周损耗

 Emax_store= Emax_L = Emax_C

 E max_L = V0^2/(2*ω^2*L),   电感储存磁场能量的最大值    (11)

 E max_C = V0^2*C/2,       电容储存电场能量的最大值    (12)

 E per_loss = T*V0^2/(2*R)    一个周期内的损耗            (13)

将11-13分别代入9，10得到：

 Q LC = R* ω*C = R / ( ω*L)                     (14)

 Q ind = R / ( ω*L) *[1 - ( ω/ ω0)^2]              (15)

当电抗相互抵消，回路导纳最小或阻抗最大时，称回路为谐振。

 jω0 C+1/jω0L = 0 ==> ω0 = 1/sqrt(L*C)              (16)

通过磁场与电场能量相互的概念 E max_L = E max_C ，也可以得到同样的结果。

ω0 称为谐振频率, 根据14可以写出并联网络Q值：

 Q LC = Rp / Xp                                      (17)

串联谐振网络，通过串并联对偶变换原则：L->C, C->L, G->Rs,V->I

 Q LC = Rp / Xp = (1/G) / (1/Xc) = Xc/G => XL/Rs = Xs/Rs      (18)

 至此，我们就得到了式（7）的等式。

不过，我们发现电感的Qind值有一些限制。

比如电感工作频率应小于谐振频率。

相等时，Q将为0; 大于时, Q将小于0，也就是呈现了电容的性质。

我们还需要注意的是，谐振回路谐振时电感与电容的电流相等，但方向相反，其值是源电流的　Q　倍，所以布线时要注意要足够宽的线。

二、电感模型部分接入阻抗变换

 
 

图（2）

 为了计算方便，令Cox=C1，　Csi=C2，Rsi=R2。

其中，Ls代表螺旋电感由GeenHouse方法求得；Rs表明串联的金属电阻，受涡流效应影响；Cs表示抽头时重叠电容；Cox表示电感与衬底的寄生电容；Rsi、Csi表示衬底本身的寄生电阻与电容。

图2从左变换到右图，为一个典型的并联谐振回路。

不过直接变换时，通常要满足Rsi >> Xsi ,并通过相关讨论得到的结论进行套用。

实际的变换如图3为三个步骤。

为了方便计算，在第a到b的变换中，也作些近似。

 

 

 

 

 

 

图（3）

(a) -> (b) :

 R2 = R2s*(1+Q2^2)                 (19)

 C2s = C2*(1+1/Q2^2)                (20)

 Q2 = R2/Xc2 = Xc2s/R2s             (21)

假设C2s ≈ C2，即1/Q2^2 << 1，也就是Q2^2 >> 1, 重写式19，20得到：

   R2 = R2s*Q2^2                (22)

   C2s = C2                      (23)

(b) -> (c) :

 Rp = R2s*(1+Q^2)                 (24)

 CΣ = Cp*(1+1/Q^2)                (25)

 Q = Rp/Xp = XcΣ/R2s              (26)

 CΣ = C2*P                       (27)

 P = C1 / (C1+C2)                (28)

由式21得到 R2s = Xc2^2 / R2并将此式及12一同代入式24,25中，

 Rp = Xc2^2 / R2 + XcΣ^2 / R2s

     = 1/[(ω*C2)^2*R2] + R2/ P^2

     = 1/[(ω*C2)^2*R2] + R2 * (C1 + C2)^2 / C1^2                       (29)

 Cp = CΣ /(1+1/Q^2) 

Σ*Q^2 / (1 + Q^2)

     = C

     = CΣ* (R2*XcΣ/Xc2^2)^2 / [1+ R2*XcΣ/Xc2^2)^2]

Σ* (R2*C2*ω/P)^2] / [1 + (R2*C2*ω/P)^2]

     = [C

     = [CΣ* (R2*C2*ω)^2] / [P^2 + (R2*C2*ω)^2]

     = C1*C2*(R2*C2*ω)^2*(C1+C2) / {(C1*C2)^2 + [(R2*C2*ω)*(C1+C2)]^2}

     = C1*C2*(R2*ω)^2*(C1+C2) / {C1^2 + [(R2*ω)*(C1+C2)]^2}            (30)

 值得注意的是等式中的Q值，与整个回路的Q值要加以区分。

式29将前一部分忽略，可得:

Rp = R2 / P^2 此式在直接变换中，利用变换后功率相等原则，可以迅速得到。

 

 

 

 

 

 

 

 

图（4）

 对于设计RL与Rs匹配，要注意是串并变换，还是并串变换，这主要视电阻的大小而定。

因为串联变换成并联，电阻增加Q平方倍，所以电阻小的一方应采用串联的方式。

如图4所示，是一个L型的结构，如果源与负载均有一个L型网络就是π型，再将并联的电抗元件合并就是T型。

由L型演变过来的π型或T型，其好处就是增加Q值的变换空间，充分利用了各节点的寄生参数。

三、带宽

　　上述介绍的串并联变换是谐振网络的阻抗匹配技术，一般应用于窄带范围。

从频域上划分宽窄带，主要以信号带宽除以中心频率作为指标，

 不大于0.1 为窄带(NB)，

 0.1－0.25   为宽带(WB)，

 不小于0.25 为超宽带(UWB)。

 信号带宽就是我们常讲的3dB带宽(BW3dB),严格讲应该是-3dB带宽。

以并联谐振回路为例，电流源Is为常数，电压特性也同样表达了阻抗特性。

输出电压为：

　　V（ω）＝Is/Y=Is/(G+1/Xc+XL)=Is/[G+j(ωC-1/ωL)]

        =(Is/G)/[1+j(ωC/G – 1/(G*ωL))]

（ω0）/[1+jQ( ω/ ω0 - ω0/ ω)]　　　　　　（31）

        =V

其中Q＝ω0*C/G = 1/ω0*C*G

又定义ξ为广义谐振　

　　ξ=Q( ω/ ω0 - ω0/ ω)　　　　　　　　　　　　　（32）

如果频率在中心频率附近, ω≈ω0 近似得到：

　　ξ=Q＊2( ω－ω0)/ω0 = Q＊2Δω/ω0                    （33）

而选频特性又可得：

（ω）/V（ω0）=1/[1+j　　S＝Vξ]　　　　(34)　

代数化后得到：

　　S＝ expt(e,-jθ) / sqrt(1^2+ξ^2)       (35)

    θ= arctan ξ                       (36)

接下来令 ξ＝1，即　S＝1/sqrt(2)=0.707　刚好对应-3dB,将其展开得到：

 ξ＝1＝Q*2*2*π*Δf/(2*π*f0) =Q*2*Δf / f0

3dB / f0即为宽窄带指标。

这里的2*Δf就是-3dB对应的带宽BW3dB，而 BW

　BW3dB＝f0 /Q                      (37)

通用的等式将是：

 BWx = BW3dB * sqrt(1/x^2 – 1)     (38)

 显然，X最大值为1，而它也不可能小于0，所以X是介于　0-1　之间的一个值。

Q值越大选择性越好，而带宽会变窄，X取值也会接近于1。

四、结尾

 这篇中，我们讨论了最实用的串并联阻抗变换方法，也介绍了带宽。

似乎我们还可以看到，通过改变中心频率或Q值，将窄带技术应用到宽带或超宽带中。

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